Question

（2012•普陀區一模）f（x）和g（x）都是定義在集合M上的函數，對于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，稱函數f（x）與g（x）在M上互為“H函數”．
（1）若函數f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）與g（x）互為“H函數”，證明：f（n）=g（b）
（2）若集合M=[-2，2]，函數f（x）=x²，g（x）=cosx，判斷函數f（x）與g（x）在M上是否互為“H函數”，并說明理由．
（3）函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互為“H函數”，求a的取值范圍及集合M．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）與g（x）互為“H函數”，知f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立，由此能夠證明f（n）=g（b）．
（2）假設函數f（x）與g（x）互為“H函數”，則對于任意的x∈M，f（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx²=cos²x，對于任意x∈[-2，2]恒成立，由此能推導出在集合M上，函數f（x）與g（x）不是互為“H函數”．
（3）由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1），變形得a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1ax=

1

a-1

，由此能求出a的取值范圍及集合M．

解答：（1）證明：∵f（x）=ax+b，
g（x）=mx+n，f（x）與g（x）互為“H函數”，
∴對于?x∈R，f（g（x））=g（f（x））成立．
即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立…（2分）
∴max+an+b=amx+mb+n，…（2分）
∴an+b=mb+n，
∴f（n）=g（b）．…（1分）
（2）解：假設函數f（x）與g（x）互為“H函數”，
則對于任意的x∈Mf（g（x））=g（f（x））恒成立．
即cosx²=cos²x，對于任意x∈[-2，2]恒成立…（2分）．
當x=0時，cos0=cos0=1．
不妨取x=1，則cos1²=cos1，所以cos1≠cos²1…（2分）
所以假設不成立，在集合M上，
函數f（x）與g（x）不是互為“H函數”…（1分）．
（3）解：由題意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1）…（2分）
變形得，a^x（a-1）=1，
由于a＞0且a≠1ax=

1

a-1

，
因為a^x＞0，所以

1

a-1

＞0，即a＞1…（2分）
此時x=-log_a（a-1），
集合M={x|x=-log_a（a-1），a＞1}…（2分）

點評：本題考查函數值相等的證明，考查兩個函數是否互為“H函數”的判斷，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．