Question

【題目】已知點(diǎn)P和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線 均過點(diǎn)P，且斜率之積為，則稱直線是一組“共軛線對(duì)”，如直 是一組“共軛線對(duì)”，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）已知是一組“共軛線對(duì)”，求的夾角的最小值；

（2）已知點(diǎn)A(0,1)、點(diǎn)和點(diǎn)C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點(diǎn)（A,B,C與P,Q,R均不重合），且直線PR,PQ是“ 共軛線對(duì)”，直線QP,QR是“共軛線對(duì)”，直線RP，RQ是“共軛線對(duì)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn) ，直線是“共軛線對(duì)”，當(dāng)的斜率變化時(shí)，求原點(diǎn)O到直線的距離之積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值為；（2）P(3,3)或；（3）.

【解析】

（1）設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，兩直線的夾角為α，利用夾角公式及基本不等式求最值，即可得到l1，l2的夾角的最小值；

（2）設(shè)直線PR，PQ，QR的斜率分別為k1，k2，k3，可得，求解可得k1，k2，k3的值，進(jìn)一步得到直線PR與直線PQ的方程，聯(lián)立得P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)l1：,，其中k≠0，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得原點(diǎn)O到直線l1，l2的距離，變形后利用基本不等式求解．

（1）設(shè)的斜率為k，則的斜率為，兩直線的夾角為a，

則 ，

等號(hào)成立的條件是，所以最小值為；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，

則 得或.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為y=，直線的方程為y=，聯(lián)立得，P(3,3)；

當(dāng)時(shí)，，直線的方程為y=，直線的方程為y=-，聯(lián)立得，；

故所求為P(3,3)或；

（3）設(shè)，，其中k，

故=

由于（等號(hào)成立的條件是），故，.