Question

正三棱錐S-ABC中，若側棱 SA=4

3

，高SO=4，則此正三棱錐S-ABC外接球的表面積是（　　）

• A、36π
• B、64π
• C、144π
• D、256π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：確定正三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，可得該三棱錐的各個頂點均為棱長為4

3

的正方體的頂點，故其外接球的直徑等于棱長為4

3

正方體的對角線的長度，求出其半徑后，代入球的表面積公式，即可得到答案．

解答： 解：∵正三棱錐S-ABC中，側棱SA=4

3

，高SO=4，
∴OA=4

2

，
∴正三棱錐S-ABC的底面邊長為4

6

，
∴SA²+SB²=AB²，
∴正三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，
∴正三棱錐S-ABC的外接球即為棱長為4

3

的正方體的外接球
則外接球的直徑2R=12，
故正三棱錐S-ABC的外接球的表面積S=4•πR²=144π
故選C．

點評：本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中根據已知結合正方體的幾何特征，得到該正三棱錐是正方體的一部分，并將問題轉化為求正方體外接球表面積，是解答本題的關鍵．