Question

【題目】設函數.

(1)求函數的極值點個數；

(2)若，證明 .

Answer 1

【答案】（1）2個（2）詳見解析

【解析】

(1)由是奇函數，把問題轉化成的極值點個數問題，求出，把的正負問題轉化成正負來處理，求出，判斷的單調性，結合函數零點判斷方法即可判斷在區間上存在唯一的使.在上不存在使得，問題得解。

(2)利用（1）中的結論可知：在區間內恒成立.令，可將問題轉化成 ，問題得證。

解：（1）因為為奇函數，其圖像關于原點對稱，所以只需考慮上的極值點個數，

，時，

.

令，，

∴當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

∴.

取，，

∴在區間上存在唯一的使.

∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

又為奇函數，

∴在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

∴的極值點共2個.

（2）由（1）可知在區間內單調遞減，且恒成立.

∴時，，

即得.

又令，

得.

∴