Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，過橢圓C： 的左頂點A作直線l，與橢圓C和y軸正半軸分別交于點P，Q．

（1）若AP=PQ，求直線l的斜率；
（2）過原點O作直線l的平行線，與橢圓C交于點M，N，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（﹣2，0），設Q（0，m）（m＞0），

∵AP=PQ，∴P（﹣1， ），

代入橢圓方程得： =1，

解得m= ，

∴直線l的斜率為

（2）證明：設直線l的斜率為k（k＞ ），直線l的方程為：y=k（x+2），

令x=0得y=2k，即Q（0，2k），

∴AQ= =2 ．

聯立方程組 ，消元得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴AP= = ．

∴APAQ= ．

直線MN的方程為y=kx，

聯立方程組 ，得（1+4k2）x2﹣4=0，

設N（x3，y3），M（﹣x3，﹣y3），

則 ，

∴MN=2ON=2 =4 ，

∴ = = ．

∴ 為定值

【解析】（1）根據題意設出點Q的坐標，然后利用中點坐標公式將點P的坐標用點A、點Q的坐標表示，并代入橢圓方程求出點Q的坐標后即可求解；