Question

給出下列命題：
①f(x)=

4-x2

+

x2-4

既是奇函數，又是偶函數；
②f（x）=x和f(x)=

x2

x

為同一函數；
③已知f（x）為定義在R上的奇函數，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
④函數y=

x

2x2+1

的值域為[-

2

4

，

2

4

]．
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：由函數的解析式分析出函數f(x)=

4-x2

+

x2-4

的定義域，進而得到函數的圖象，結合奇偶函數圖象的對稱性，可判斷①的真假；
根據兩個函數的定義域不一致，結合同函數的定義，可判斷②的真假；
舉出反例f（x）=

-1

x

，結合反比例函數的單調性，可以判斷③的真假；
將函數解析式變形為y=

x

2x2+1

=

1

2x + 1 x

，結合基本不等式，分類討論函數的值域，綜合討論結果可判斷④的真假．

解答：解：函數f(x)=

4-x2

+

x2-4

的定義域為{-2，2}，其圖象是點（-2，0）和（2，0），即關于原點對稱也關于y軸對稱，故f（x）既是奇函數，又是偶函數，即①正確；
f（x）=x的定義域為R，f(x)=

x2

x

的定義域為{x|x≠0}，故兩者不為同一函數，故②錯誤；
已知f（x）=

-1

x

為定義在R上的奇函數，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，但函數在（-∞，+∞）上不為增函數，故③錯誤；
④函數y=

x

2x2+1

=

1

2x + 1 x

當x＞0時，2x +

1

x

≥2

2

，則y∈（0，

2

4

]
當x=0時，則y=0
當x＜0時，2x +

1

x

≤-2

2

，則y[-

2

4

，0）
綜上，函數的值域為[-

2

4

，

2

4

]，故④正確．
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性，同一函數的定義，函數的單調性，函數的值域等，其中④函數值域的求解難度稍大，要注意基本不等式的應用．