Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)

（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積;
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)橐阎狿A⊥平面ABCD，所以求三棱錐E-PAD的體積，用等體積法
求體積時(shí)先找高線，即先觀察面上的垂線，（Ⅱ）點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，EF為三角形的中位線，根據(jù)三角形的中位線可得線線平行，再由直線與平面平行的判定定理得出結(jié)論，（Ⅲ）無論點(diǎn)E在邊BC的何處，暗示本題只需考慮直線AF與平面PBC的垂直關(guān)系即可 由等腰三角形底邊上中線垂直于底邊，即AF垂直于PB，因此只需考慮AF垂直平面PBC另一條直線 經(jīng)觀察，直線BC為目標(biāo)，這是因?yàn)锽C垂于AB,而PA又垂直BC。到此思路已出，只需逆推即可。
試題解析：解：（Ⅰ）三棱錐E-PAD的體積    4分
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，與平面平行
在中，分別為的中點(diǎn)，
又平面,而平面，
平面     4分
（Ⅲ）證明：平面平面
,又平面,
平面,又平面, 
又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，,
又,平面,平面 
平面,     4分