Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求證：OM∥平面PAB；
(2)求證：平面PBD⊥平面PAC；
(3)當四棱錐P-ABCD的體積等于時，求PB的長．

Answer 1

(1)證明∵在△PBD中，O，M分別是BD，PD的中點，∴OM是△PBD的中位線，∴OM∥PB.
∵OM?平面PAB，PB?平面PAB，∴OM∥平面PAB.
(2)證明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，
∴S_菱形ABCD＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.
∵四棱錐P-ABCD的高為PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.在Rt△PAB中，PB＝ ＝＝.