Question

【題目】如圖，在正四棱柱中， 為底面的對角線， 為的中點.

(1)求證： ；

(2)求證： 平面.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接,由正四棱柱的結構特征,用正方形對角線互相垂直的性質,結合線面垂直的判定定理我們可以證明出平面,進而根據線面垂直的性質得到；（2），連接，由三角形中位線定理，我們可得，再由線面平行的判定定理，即可得到平面.

試題解析：⑴，在正四棱柱 ，

平面，四邊形是正方形 ，

平面， 平面，

， 四邊形 是正方形 ，

， ，

平面， 平面， ，

⑵設，連結，

四邊形是正方形 ，

， 是的中點， 是的中位線，

， 平面平面，

平面.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定與性質，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.