Question

（2012•湘潭三模）某種電子玩具按下按鈕后，會出現紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現紅球與綠球的概率都是

1

2

，從按鈕第二次按下起，若前次出現紅球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別為

1

3

，

1

2

；若前次出現綠球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別為

3

5

，

2

5

，記第n次按下按鈕后出現紅球的概率為P_n．
（1）求P₂的值；
（2）當n∈N^*，n≥2時，
①求用P_n-1表示P_n的表達式；
②求P_n關于n的表達式．

Answer 1

分析：（1）先求出第一次，第二次均出現紅球，則概率為：

1

2

×

1

3

，第一次出現綠球，第二次出現紅球的概率為：

1

2

×

3

5

，相加即得所求．
（2）①設第n-1次按下按鈕出現紅球的概率為：P_n-1，n∈N，n≥2，可得 出現綠球的概率為：1-P_n-1 ，則由題意可得P_n=

1

3

P n-1+

3

5

（1-P_n-1 ）化簡求得結果．
②設 P_n+x=-

4

15

（P_n-1+x），即 P_n=-

4

15

P_n-1-

19

15

x． 令-

19

15

x=

3

5

，解得 x=

-9

19

，故P_n-

9

19

=-

4

15

（P_n-1-

9

19

），故{ P_n-

9

19

}是等比數列，首項等于P1-

9

19

=

1

38

，公比等于-

4

15

，由此求得P_n關于n的表達式．

解答：解：（1）P₂是“第二次按下按鈕后出現紅球”．
若第一次，第二次均出現紅球，則概率為：

1

2

×

1

3

=

1

6

，
第一次出現綠球，第二次出現紅球的概率為：

1

2

×

3

5

=

3

10

，
故所求概率為：P₂=

1

6

+

3

10

=

7

15

．
（2）①設第n-1次按下按鈕出現紅球的概率為：P_n-1，n∈N，n≥2，則出現綠球的概率為：1-P_n-1．
若第n-1次，第n次均出現紅球，其概率為：Pn-1×

1

3

，
若第n-1次，第n次依次出現綠球，紅球，其概率為：（1-P_n-1）

3

5

，
∴P_n=

1

3

P n-1+

3

5

 （1-P_n-1 ）=

3

5

-

4

15

P_n-1，即P_n=

3

5

-

4

15

P_n-1，n∈N，n≥2．
②設  P_n+x=-

4

15

（P_n-1+x），即 P_n=-

4

15

 P_n-1-

19

15

x．
令-

19

15

x=

3

5

，解得 x=

-9

19

，∴P_n-

9

19

=-

4

15

 （P_n-1-

9

19

），
故{ P_n-

9

19

}是等比數列，首項等于P1-

9

19

=

1

38

，公比等于-

4

15

．
∴Pn-

9

19

=

1

38

 (-

4

15

)n-1，∴P_n=

1

38

(-

4

15

)n-1+

9

19

．

點評：本題主要考查相互獨立事件的概率，互斥事件的概率加法公式的應用，等比關系的確定，等比數列的通項公式，屬于中檔題．