Question

【題目】已知橢圓：的離心率，橢圓的上、下頂點分別為，，左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，.原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上異于，的任一點，直線，，分別交軸于點，，若直線與過點，的圓相切，切點為，證明：線段的長為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）證明見解析；長度為定值2

【解析】

（1）根據題意，設，可得，求得，結合圓心到直線的距離公式，列出方程，求得，進而求得橢圓的標準方程；

（2）設，求得直線和的方程，分別令，求得，得到圓的圓心坐標，再結合圓的弦長公式和橢圓的方程，即可求解.

（1）由題意，橢圓：的離心率，即

設，可得，則，

可得，

可得直線方程為，即，

所以原點到直線的距離為，解得，

所以，，橢圓方程為.

（2）由（1）可知，，設，

直線：，令，得；

直線：，令，得；

設圓的圓心為，

則，

，

所以，

而，所以，

代入可得，即，即線段的長度為定值2.