Question

【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發動機進行科技改造，根據市場調研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數據統計如下：

	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

當時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據下列表格中的數據，比較當時模型①、②的相關指數，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“東方紅”款汽車發動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	182.4	79.2

（附：刻畫回歸效果的相關指數，.）

（2）為鼓勵科技創新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發動機的熱效大幅提高，服從正態分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發動機的熱效率不超過，不予獎勵；若發動機的熱效率超過但不超過，每臺發動機獎勵2萬元；若發動機的熱效率超過，每臺發動機獎勵5萬元.求每臺發動機獲得獎勵的數學期望.

（附：隨機變量服從正態分布，則，.）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由表格中的數據，結合刻畫回歸效果的相關指數，可得結論；（2）求得樣本，可得當x＞17億元時，y與x滿足的線性回歸方程，令x＝20，可得所求大小；（3）由正態分布的計算公式，以及數學期望公式，可得所求值．

（1）由表格中的數據，有，即，

所以模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.

所以當億元時，科技改造直接收益的預測值為

（億元）.

（2）由已知可得：，所以.

，所以.

所以.

所以當億元時，與滿足的線性回歸方程為：.

所以當億元時，科技改造直接收益的預測值.

所以當億元時，實際收益的預測值為億元億元.

所以技改造投入20億元時，公司的實際收益的更大.

（3）因為，

所以，，

因為，

所以，

所以.

設每臺發動機獲得的獎勵為（萬元），則的分布列為：

	0	2	5
	0.0228	0.8185	0.1587

所以每臺發動機獲得獎勵的數學期望為

（萬元）.