Question

【題目】已知橢圓的右頂點為，左焦點為，離心率，過點的直線與橢圓交于另一個點，且點在軸上的射影恰好為點，若．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過圓上任意一點作圓的切線與橢圓交于，兩點，以為直徑的圓是否過定點，如過定點，求出該定點；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）以為直徑的圓恒過坐標原點.

【解析】

（1）先根據離心率得，，再根據點B在橢圓上得B點縱坐標，最后根據三角形面積公式解得，即得，（2）先考慮直線的斜率不存在情況，確定定點，再利用韋達定理以及向量數量積論證圓過坐標原點.

（1）∵，∴，，

設，代人橢圓方程得： ，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，以為直徑的圓的圓心為或，半徑為2，

以為直徑的圓的標準方程為： 或，

因為兩圓都過坐標原點，∴以為直徑的圓過坐標原點，

當直線的斜率存在時，設其方程為，，，

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，

，

所以，

由，

化簡得：，

∴，，

∴

，

∴以為直徑的圓過坐標原點，

綜上，以為直徑的圓恒過坐標原點.