Question

【題目】在直角坐標系中，直線與拋物線交于，兩點，且.

（1）求的方程；

（2）試問：在軸的正半軸上是否存在一點，使得的外心在上？若存在，求的坐標；若不存在，請說明理由..

Answer 1

【答案】（1）； （2）在軸的正半軸上存在一點，使得的外心在上.

【解析】

（1）聯立，得，利用 ，結合韋達定理列方程求得，從而可得結果；（2）求出線段的中垂線方程.聯立，得，解得或，從而的外心的坐標為或，分別利用求得的值，驗證是否符合題意即可.

（1）聯立，得，

則，，

從而 .

， ，

即，解得，故的方程為.

（2）設線段的中點為，

由（1）知，，，

則線段的中垂線方程為，即.

聯立，得，解得或，

從而的外心的坐標為或.

假設存在點 ，設的坐標為，

，

，則.

，.

若的坐標為，則，

，則的坐標不可能為.

故在軸的正半軸上存在一點，使得的外心在上.