Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4和直線l：x+2y+2=0，直線m經過圓C外定點A（1，0）．
（1）若m與圓C相交于P，Q兩點，問：當圓心C到直線m距離取何值時，三角形CPQ的面積取最大值，并寫出此時m的直線方程；
（2）若直線m與圓C相交于P，Q兩點，與l交于N點，且線段PQ的中點為M，則判斷|AM|•|AN|是否為定值，若是求出定值，若不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設直線方程為kx-y-k=0，設圓心到直線的距離為d，則建立三角形CPQ的面積s關于d的函數關系式，求函數的最值，再利用點到直線的距離公式列方程即可得解
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設直線方程為kx-y-k=0，把所設直線與直線l方程聯立，解得點N的坐標，再將直線與圓的方程聯立，利用韋達定理，求出M點的坐標，而A（1，0），利用兩點間的距離公式計算并化簡得到的|AM|•|AN|的代數式即可得解
解答：解：（1）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設直線方程為kx-y-k=0，
設圓心到直線的距離為d又∵三角形CPQ面積
∴當d=時，S取得最大值2∴
∴直線方程為y=x-1，或y=7x-7
（2）解：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，
可設直線方程為kx-y-k=0
由得
再由
得（1+k²）x²-（2k²+8k+6）x+k²+8k+21=0．
∴得
∴=為定值
點評：本題考查了直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，兩點之間的距離公式，重點考查了對利用韋達定理，設而不求的解題方法的掌握，解題時要認真體會，耐心求解