Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點A（1，0）．
（Ⅰ）若l₁與圓相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點為N，求證：AM•AN為定值．

Answer 1

分析：（I）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（II）分別聯立相應方程，求得M，N的坐標，再求AM•AN．

解答：解：（Ⅰ）①若直線l₁的斜率不存在，即直線x=1，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2解之得k=

3

4

．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx-y-k=0
由

x+2y+2=0 kx-y-k=0

得N(

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

)又直線CM與l₁垂直，

y=kx-k y-4=- 1 k (x-3)

得M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)．

∴AM*AN=

2 |2k+1|

1+k2

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6為定值．（10分）

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系以及直線與直線的交點和兩點間的距離公式．