Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（Ⅰ）若a=y-x，求a的最大值和最小值；
（Ⅱ）若圓D的半徑為3，圓心在直線L：x+y-2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圓C方程設出圓的參數方程，表示出x與y，代入a=y-x中，整理后化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可確定出a的最大值和最小值；
（Ⅱ）根據圓心在直線L：x+y-2=0上，設出圓心D坐標，而圓D與圓C外切，得到圓心距CD等于兩半徑之和，利用兩點間的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心D坐標，即可確定出圓D的方程．

解答：解：（Ⅰ）令

x=3+2cosθ y=4+2sinθ

，
∴a=y-x=4+2sinθ-3-2cosθ=2sinθ-2cosθ+1=2

2

sin（θ-

π

4

）+1，
∵-1≤sin（θ-

π

4

）≤1，即-2

2

≤sin（θ-

π

4

）≤2

2

，
則a的最大值為2

2

+1，最小值為1-2

2

；
（Ⅱ）依題意設D（a，2-a），
∵已知圓心C（3，4），r=2，且兩圓相切，
∴CD=5，即

(a-3)2+(2-a-4)2

=5，
整理得：a²-a-6=0，即（a+2）（a-3）=0，
解得：a=-2或a=3，
∴D（3，-1）或D（-2，4），
則所求圓方程為（x-3）²+（y+1）²=9或（x+2）²+（y-4）²=9．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，圓的標準方程，以及圓的切線方程，弄清題意是解本題的關鍵．