Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（Ⅰ）若直線l₁過定點A（1，0），且與圓C相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若圓D的半徑為3，圓心在直線l₂：x+y-2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．

Answer 1

分析：（I）由直線l₁過定點A（1，0），故可以設出直線的點斜式方程，然后根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k值即可，但要注意先討論斜率不存在的情況，以免漏解．
（II）圓D的半徑為3，圓心在直線l₂：x+y-2=0上，且與圓C外切，則設圓心D（a，2-a），進而根據兩圓外切，則圓心距等于半徑和，構造出關于a的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）①若直線l₁的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意．（1分）
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2（4分）
解之得k=

3

4

．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（Ⅱ）依題意設D（a，2-a），又已知圓的圓心C（3，4），r=2，
由兩圓外切，可知CD=5
∴可知

(a-3)2+(2-a-4)2

=5，（7分）
解得a=3，或a=-2，
∴D（3，-1）或D（-2，4），
∴所求圓的方程為（x-3）²+（y+1）²=9或（x+2）²+（y-4）²=9．（9分）

點評：本題考查的知識點是圓的方程，直線與圓的位置關系及圓與圓的位置關系，其中（1）的關鍵是根據直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，構造出關于k的方程，（2）的關鍵是根據兩圓外切，則圓心距等于半徑和，構造出關于a的方程．