Question

【題目】已知數列{an}滿足 ， ，n∈N* ．
（1）求證：數列 為等比數列；
（2）是否存在互不相等的正整數m，s，t，使m，s，t成等差數列，且am﹣1，as﹣1，at﹣1成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為 ，

所以 ．

所以 ．

因為 ，則 ．

所以數列 是首項為 ，公比為 的等比數列

（2）解：由（1）知， ，

所以 ．

假設存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件，

則有

由 與 ，

得 ．

即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s．

因為m+t=2s，所以3m+3t=2×3s．

因為 ，當且僅當m=t時等號成立，

這與m，s，t互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件

【解析】（1）由 ，變形可得 ，從而可證明數列 為等比數列；（2）假設存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件，則有 ，代入條件，利用基本不等式，即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的等比關系的確定和數列的通項公式，需要了解等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．