Question

【題目】在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，﹣），（0，）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）若⊥ ， 求k的值．

Answer 1

【答案】解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，﹣），（0，）為焦點，長半軸為2的橢圓，它的短半軸b==1，故曲線C的方程為x2+=1．
（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐標滿足消去y并整理得
（k2+4）x2+2kx﹣3=0，
故x1+x2=﹣，x1x2=﹣．
∵⊥
∴x1x2+y1y2=0．
∵y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化簡得﹣4k2+1=0，所以k=±．
【解析】（1）由題中條件：“點P到兩點（0，﹣），（0，）的距離之和等于4，”結合橢圓的定義知其軌跡式樣，從而求得其方程．
（2）將直線方程與橢圓方程聯立方程組，消去y得到一個一元二次方程，然后利用根與系數的關系，結合向量垂直的條件列關于k方程式即可求得參數k值．