Question

【題目】設函數f（x）= ．
（1）當m=4時，求函數f（x）的定義域M；
（2）當a，b∈RM時，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=4時，由|x+1|+|x﹣1|≥4，

等價于 或 或 ，

解得x≤﹣2或x≥2或x∈．

則不等式的解集為M={x|x≤﹣2或x≥2}

（2）解：證明：當a，b∈CRM時，即﹣2＜a，b＜2，

所以4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）

=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，所以4（a+b）2＜（4+ab）2，

即2|a+b|＜|4+ab|

【解析】（1）由題意和二次根式的被開方數非負，可得|x+1|+|x﹣1|≥4，運用絕對值的意義和對x討論，解不等式即可得到所求定義域；（2）可得﹣2＜a，b＜2，要證2|a+b|＜|4+ab|，可證4（a+b）2＜（4+ab）2 ， 作差4（a+b）2﹣（4+ab）2 ， 運用平方差和因式分解，即可得證．
【考點精析】利用函數的定義域及其求法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．