Question

【題目】設函數f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＜﹣2時，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x+x+2=﹣x+3，f（x）＞3，即﹣x+3＞3，解得x＜0，

又x＜﹣2，∴x＜﹣2；

當 時，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，f（x）＞3，即﹣3x﹣1＞3，解得 ，又 ，∴ ；

當 時，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，f（x）＞3，即x﹣3＞3，解得x＞6，又 ，∴x＞6．

綜上，不等式f（x）＞3的解集為 ．

（2）解：f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|= ，

∴ ．

∵x0∈R，使得 ，

∴ ，

整理得4m2﹣8m﹣5＜0，

解得 ．

因此實數m的取值范圍是

【解析】（1）利用零點分區間討論去掉絕對值符號，化為分段函數，在每一個前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結果找并集得出不等式的解；（2）根據第一步所化出的分段函數求出函數f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．