Question

設函數f（x）=lnx-px+1
（1）若當x=2時，f（x）取得極值，求p的值，并求f（x）的單調區間；
（2）若對任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（I）先求函數的定義域，對函數求導，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0
（II）求函數g（x）的最大值，對任意的x＞0，恒有g（x）≤0?g（x）_max≤1，代入求解p的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-p，x＞0，
（1）若當x=2時，f（x）取得極值，
∴f′（2）=0，即

1

2

-p=0，p=

1

2

，
p=

1

2

時，f′（x）=

1

x

-

1

2

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減；
（2）x＞0時，若f（x）=lnx-px+1≤0，
∴p≥

lnx+1

x

，
設g（x）=

lnx+1

x

，
∴g′（x）=-

lnx

x2

，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴p的范圍是：[1，+∞）．

點評：本題考查了導數的應用：求函數的單調區間，求函數的極值，在求解中不能忽略了對函數定義域的判定，當函數中含有參數時，要注意對參數的分類討論，本題又考查了函數的恒成立問題，這也是高考在導數部分的重點考查的知識點．