Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數的圖像與軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數，，都有.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；

當時，在單調遞增，在上單調遞減.,(2)見解析

【解析】

（1）求導函數，按和分類討論，確定的正負，從而確定單調性；

（2）由（1）知時有極值，才可能滿足題意，極大值為0，求得，.不妨設，則，等價于，即證：

令，由于，因此只要證得（）即可．

（1）函數的定義域為，.

當時，，在上單調遞增；

當時，由，得.

若，，單調遞增；

若，，單調遞減

綜合上述：當時，在上單調遞增；

當時，在單調遞增，在上單調遞減.

（2）由（1）知，當時，在上單調遞增，不滿足條件；

當時，的極大值為，

由已知得，故，此時.

不妨設，則

等價于，即證：

令，

故在單調遞減，所以.

所以對于任意互不相等的正實數，都有成立