Question

【題目】如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.

(1) 求證：；

(2) 求直線與平面所成角的正弦值；

(3) 線段上是否存在點，使平面若存在，求出；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）線段上存在點，使得平面，且.

【解析】

（1）取AB中點O，連接EO，DO．利用等腰三角形的性質(zhì)，可得EO⊥AB，證明邊形OBCD為正方形，可得AB⊥OD，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，從而可得AB⊥ED；

（2）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，從而可得EO⊥OD．建立空間直角坐標系，確定平面ABE的一個法向量為，，利用向量的夾角公式，可求直線EC與平面ABE所成的角；

（3）存在點F，且時，有EC∥平面FBD．確定平面FBD的法向量，證明=0即可．

（1）證明：取AB中點O，連接EO，DO．

因為EB=EA，所以EO⊥AB．

因為四邊形ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，

所以四邊形OBCD為正方形，所以AB⊥OD

因為EO∩OD=O

所以AB⊥平面EOD

因為ED平面EOD

所以AB⊥ED．

（2）解：因為平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB

所以EO⊥平面ABCD，

因為OD平面ABCD，所以EO⊥OD．

由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．

因為△EAB為等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，設OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．

所以，平面ABE的一個法向量為．

設直線EC與平面ABE所成的角為θ，

所以 ，

即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為．

（3）解：存在點F，且時，有EC∥平面FBD．證明如下：由 ，，所以．

設平面FBD的法向量為=（a，b，c），則有

所以取a=1，得=（1，1，2）．

因為=（1，1，﹣1）（1，1，2）=0，且EC平面FBD，所以EC∥平面FBD．

即點F滿足時，有EC∥平面FBD．