Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設，分別為，中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）試問在線段上是否存在點，使得過三點，，的平面內的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）點是線段中點

【解析】

（1）通過證明，證明平面；

（2）通過和平面內的兩條相交直線垂直，證明平面；

（3）通過證明兩個平面內的兩條相交直線分別平行，證明平面平面即可.

（1）因為點是中點， 點為的中點，

所以，又因為平面平面，

所以平面；

（2）因為平面平面，平面平面，

又平面，所以平面，所以

又因為，

所以平面；

（3）當點是線段中點時，

過點的平面內的任一條直線都與平面平行，證明如下：

取中點，連.

由（1）可知平面.

因為點是中點，點為的中點，

所以，又因為平面，

平面，所以平面，

又因為，所以平面平面，

所以平面內的任一條直線都與平面平行.