Question

【題目】設拋物線的對稱軸是軸，頂點為坐標原點，點在拋物線上，

（1）求拋物線的標準方程；

（2）直線與拋物線交于、兩點（和都不與重合），且，求證：直線過定點并求出該定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；直線恒過點.

【解析】

（1）設,將點代入方程求解即可；

（2）當時顯然不成立；當時聯立直線方程與拋物線方程,利用韋達定理得到及的關系,由可得,代入即可得到與的關系,進而得到定點；當不存在時,聯立直線方程與拋物線方程,同理運算即可

解：（1）因為拋物線的對稱軸是軸,設拋物線的標準方程為,

因為拋物線經過點所以,所以,

所以設拋物線的標準方程為

（2）證明：當直線的斜率存在且時,顯然直線與拋物線至多只有一個交點,不符合題意；

當直線的斜率存在且時,設直線的方程為,

聯立,消去,得①；

消去,得②；

設,則為方程①的兩根,為方程②的兩根,

,

因為,所以,

因為,所以,

即,

所以,即,

所以直線的方程可化為,

當時,無論取何值時,都有,所以直線恒過點,

當直線的斜率不存在時,設直線的方程為,

把與聯立得,

則,

因為,

所以,即,得,

所以直線的方程為,

所以直線過點,

綜上,無論直線的斜率存在還是不存在,直線恒過點.