Question

【題目】已知函數，．

（1）若，求函數的極值；

（2）設函數，求函數的單調區間；

（3）若在上存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在處取得極小值1，無極大值；（2）見解析；（3）或．

【解析】

（1），，解即可得到函數的單調性，進而得到極值的情況；

（2），分類討論當時，當時導函數的正負情況即可得單調性；

（3）將題目轉化為函數在上的最小值小于零，結合（2）討論的單調性分類討論即可．

（1）若，，

，

得，得，

所以在遞減，在遞增，

所以在處取得極小值1，無極大值；

（2）

的正負情況與的正負情況一致，

當時，得，得，

在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，，，在上單調遞增．

（3）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數在上的最小值小于零．

由（2）可知：

①，即時，在上單調遞減；所以的最小值為，由可得，因為，所以；

②，即時，在上單調遞增，所以最小值為，由可得；

③當，即時，可得最小值為，因為，所以，，故，此時，不成立，

綜上討論可得所求的范圍是：或．