Question

【題目】已知函數f（x）=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數g（x）=f（x）+ x2﹣bx．
（1）求實數a的值；
（2）若函數g（x）存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；
（3）設x1 ， x2（x1＜x2）是函數g（x）的兩個極值點，若b≥ ，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x+alnx，

∴f′（x）=1+ ，

∵f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，

∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，

解得a=1

（2）解：∵g（x）=lnx+ ﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）= ，x＞0，

由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，

即x+ +1﹣b＜0有解，

∵定義域x＞0，

∴x+ ≥2，

x+ ＜b﹣1有解，

只需要x+ 的最小值小于b﹣1，

∴2＜b﹣1，解得實數b的取值范圍是{b|b＞3}

（3）解：∵g（x）=lnx+ ﹣（b﹣1）x，

∴g′（x）= =0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1

∴g（x1）﹣g（x2）=ln ﹣ （ ﹣ ）

∵0＜x1＜x2，

∴設t= ，0＜t＜1，

令h（t）=lnt﹣ （t﹣ ），0＜t＜1，

則h′（t）=﹣ ＜0，

∴h（t）在（0，1）上單調遞減，

又∵b≥ ，∴（b﹣1）2≥ ，

∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，

∴0＜t≤ ，h（t）≥h（ ）= ﹣2ln2，

故所求的最小值為 ﹣2ln2

【解析】（1）求導數，利用導數的幾何意義能求出實數a的值．（2）由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x+ +1﹣b＜0有解，由此能求出實數b的取值范圍．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln ﹣ （ ﹣ ），由此利用構造成法和導數性質能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．
【考點精析】掌握函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．