學法大視野九年級數學華師大版
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3.若$\sqrt{12}+\sqrt{y}=\sqrt{27}$，則$y$的值為（ ）
（A）8 （B）15 （C）3 （D）2
答案：C
解析：$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，則$\sqrt{y}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，所以$y = 3$。
4.（2024長春）計算：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=$______.
答案：$\sqrt{3}$
解析：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，則$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
5.計算$4\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{8}$的結果是______.
答案：$\sqrt{3}$
解析：$4\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，則$2\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}$。
6.計算：$(\sqrt{2}+1)^{2024}(\sqrt{2}-1)^{2025}=$______.
答案：$\sqrt 2-1$
解析：原式$=[(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)]^{2024}×(\sqrt 2-1)=(2 - 1)^{2024}(\sqrt 2-1)=\sqrt 2-1$。
7.如圖，□ABCD內有一面積為8的正方形，其四個頂點都在□ABCD的邊上，若BC的長是$3\sqrt{2}$，則陰影部分的面積為______.
答案：4
8.計算：
（1）$(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2$；
（2）$(3\sqrt{2}-5\sqrt{3})(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})$；
（3）$(2\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{3}})×\sqrt{3}$.
答案：（1）$7 - 4\sqrt{3}$
解析：$(2 - \sqrt{3})^2=4 - 4\sqrt{3}+3=7 - 4\sqrt{3}$
（2）$-57$
解析：$(3\sqrt{2})^2-(5\sqrt{3})^2=18 - 75=-57$
（3）9
解析：$2\sqrt{12}×\sqrt{3}=2\sqrt{36}=12$，$3\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{3}=3\sqrt{1}=3$，則$12 - 3=9$
9.已知$a=2-\sqrt{2}$，$b=2+\sqrt{2}$，求下列式子的值：
（1）$a^2 - b^2$；
（2）$a^2b^2 + ab + \sqrt{2}$.
答案：解：∵$a = 2-\sqrt{2}$，$b = 2+\sqrt{2}$，
∴$a + b = 2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=4$，$a - b=(2-\sqrt{2})-(2+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，$ab=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=4 - 2 = 2$。
(1)$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=4×(-2\sqrt{2})=-8\sqrt{2}$。
(2)$a^{2}b^{2}+ab+\sqrt 2=2^2+2+\sqrt 2= 6+\sqrt 2$。
10.【問題】已知$a$為正整數，且$\sqrt{2a + 3}$與$\sqrt{5}$能合并，試寫出三個滿足條件的$a$的值.
解：因為$\sqrt{2a + 1}$與$\sqrt{7}$能合并，所以$\sqrt{2a + 1}=m\sqrt{7}$（$m$為正整數）。所以$2a + 1 = 7m^{2}$，所以$a=\frac{7m^{2}-1}{2}$。又$a$為正整數，所以$7m^{2}-1$為偶數，所以$m$為奇數。所以當$m = 1$時，$a = 3$；當$m = 3$時，$a = 31$；當$m = 5$時，$a = 87$。所以滿足條件的$a$的值可以為$3$，$31$，$87$。（也可取$m$為其他正奇數，得出不同的答案）【問題】請根據上面的信息，解答問題：已知$a$為正整數，且$\sqrt{2a + 3}$與$\sqrt{5}$能合并，試寫出三個滿足條件的$a$的值。
答案：解：∵$\sqrt{2a + 3}$與$\sqrt{5}$能合并，
∴$\sqrt{2a + 3}=m\sqrt{5}$（$m$為正整數），
∴$2a + 3 = 5m^{2}$，∴$a=\frac{5m^{2}-3}{2}$．
又∵$a$為正整數，∴$5m^{2}-3$為偶數，
∴$m$為奇數，
當$m = 1$時，$a = 1$；當$m = 3$時，$a = 21$；當$m = 5$時，$a = 61$，
所以滿足條件的$a$的值可以為$1$，$21$，$61$．（也可取$m$為其他正奇數，得出不同的答案）
