Question

（2013?大興區一模）如圖所示，有兩個底面積均為S的實心圓柱體C和D，分別用兩根細繩的一端系于它們的上表面的中央，細繩的另一端分別系在輕質杠桿的兩端，杠桿恰好水平平衡．把質量為800g的酒精緩慢注入底面積為S₁的圓柱形容器甲中，同時向底面積為S₂的圓柱形容器乙中注入某種液體，當兩容器中液體均靜止，且杠桿再次水平平衡時，圓柱體C下底浸入酒精中的深度為2.5cm，酒精對容器甲底面的壓強為1100Pa，圓柱體D下底浸入液體的深度為4cm．若把圓柱體D從B端取下后將其從原位置再豎直向下移動2.5cm，圓柱體D剛好被液體浸沒，此時細線的拉力為13.6N．在以上整個操作過程中，兩容器中液體均未溢出，且圓柱體C和D均未與容器壁接觸．已知酒精的密度為0.8×10³ kg/m³，S₁為80cm²，AO：OB=3：1，S₂：S=9：4，g取10N/kg，則圓柱體D的密度為

5.5×10³

kg/m³．

Answer 1

分析：①根據題意求出酒精的重力和酒精對甲容器底的壓力，然后根據壓力差C受到的浮力，從而進一步求出C排開酒精的體積，再根據體積與面積的關系求出C、D的底面積以及S₂的大小；
②因為兩次杠桿都平衡，因此可根據杠桿平衡的條件求出B端所受拉力減少量，即D受到的浮力；再利用阿基米德原理求出乙中液體的密度和D浸沒4cm時排開液體的體積；
③把圓柱體D從B端取下后將其從原位置再豎直向下移動2.5cm，可求出D浸沒2.5cm時排開液體的體積，然后再根據圓柱體D剛好被液體浸沒求出圓柱體D的高度，再利用V=Sh和阿基米德求出D的體積和全部浸沒時受到的浮力，根據D的重力等于浮力和拉力的合力即可求出重力，進一步得出質量，最后利用密度公式求出D的密度．

解答：解：酒精的重力：G₁=m₁g=0.8kg×10N/kg=8N，
酒精對甲容器底的壓力：F_甲=p₁×S₁=1100Pa×80×10^-4m²=8.8N，
因為容器為規則容器，則物體C所受的浮力等于容器底部受到的壓力與酒精的重力差：F_浮C=F_甲-G₁=8.8N-8N=0.8N．   
∵F_浮=ρ_酒精gV_排
∴物體C排開酒精的體積：
V_排=

F浮C

ρ酒精g

=

0.8N

0.8×103N/kg×10N/kg

=10^-4m³=100cm³，
物體C、D的底面積為：
S=

V排

h

=

100cm3

2.5cm

=40cm²，
∵S₂：S=9：4
∴S₂=

9

4

×40cm²=90cm²，
根據杠桿平衡的條件可知，F_A×OA=F_B×OB，因為兩次杠桿都是平衡的，故杠桿B端所受拉力減少量：
△F_B=

△FA×OA

OB

=0.8N×3=2.4N，
即D受到的浮力：F_浮D=2.4N，
則ρ_乙gv_排=F_浮D
ρ_乙=

F浮D

gv排

=

2.4N

10N/kg×0.004m2×0.04m

=1.5×10³kg/m³，
V_排′=

F浮D

ρ乙g

=

2.4N

1.5×103kg/m3×10N/kg

=1.6×10^-4m³=160cm³，
物體D下移2.5cm時，則排開液體的體積：V_排″=

2.5cm

4cm

×160cm³=100cm³，
從B端取下后將其從原位置再豎直向下移動2.5cm，圓柱體D剛好被液體浸沒時，圓柱體D的高度：
h_D=4cm+2.5cm+

100cm3

90cm2-40cm2

=8.5cm，
則D完全浸沒時受到的浮力：F_浮D′=ρ_乙gV_D=1.5×10³kg/m³×10N/kg×0.004m²×0.085m=5.1N，
故D的重力G_D=13.6N+5.1N=18.7N，
D的質量：m=

GD

g

=

18.7N

10N/kg

=1.87kg，
D的密度：ρ=

mD

VD

=

1.87kg

0.004m2×0.085m

=5.5×10³kg/m³．
故答案為：5.5×10³kg/m³．

點評：本題涉及到的知識點較多，考查受力分析、杠桿的平衡條件、浮力大小的計算、液體壓強大小的計算的綜合運用，屬于難度較大的題目．解題時注意浮力公式和液體壓強公式的靈活運用．