Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC．設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF．那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形．證明見解析.

【解析】

當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．

當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形．

證明：如圖，

∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO，

又∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF是∠BCA的外角平分線，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠5=∠2+∠4，

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．