Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為(－2，0)，(6，－8)．

(1)求拋物線的解析式，并分別求出點B和點E的坐標；

(2)試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE.若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－3x－8；（2）點F的坐標為(3＋，－4)或(3－，－4)．

【解析】試題分析：（1）把A、D坐標代入拋物線可求得拋物線的函數表達式，則拋物線的對稱性可求得B點坐標，由D點坐標可求得直線OD的解析式，則可求得E點坐標；
（2）結合（1）可知OE=CE，由全等三角形的性質可知OF=CF，可知點F在線段OC的垂直平分線上，則可求得F點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得F點的坐標．

試題解析：

（1）∵拋物線y=ax2+bx-8經過點A（-2，0），D（6，-8），

∴

解得

∴拋物線的函數表達式為y＝x23x8；
∵y＝x23x8＝ (x3)2 ，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3．
又拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為（-2，0）．
∴點B的坐標為（8，0），
設直線L的函數表達式為y=kx．
∵點D（6，-8）在直線L上，
∴6k=-8，解得k=- ，
∴直線L的函數表達式為y=-x，
∵點E為直線L和拋物線對稱軸的交點，
∴點E的橫坐標為3，縱坐標為-×3=-4，
∴點E的坐標為（3，-4）；

（2）拋物線上存在點F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴點F在OC的垂直平分線上，此時點F的縱坐標為-4，
∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ，
∴點F的坐標為（3-，-4）或（3+，-4）．