Question

【題目】如圖①，已知AB∥CD，點E、F分別是AB、CD上的點，點P是兩平行線之間的一點，設∠AEP=α，∠PFC=β，在圖①中，過點E作射線EH交CD于點N，作射線FI，延長PF到G，使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFI，得到圖②．

（1）在圖①中，當α=20°，β=50°時，求∠EPF的度數；

（2）在（1）的條件下，求圖②中∠END與∠CFI的度數；

（3）在圖②中，當FI∥EH時，請求出α與β的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）70°；（2）40°，80°；（3）α+β=90°.

【解析】

(1)由PM∥AB根據兩直線平行，內錯角相等可得∠EPM=∠AEP=20°，根據平行公理的推論可得PM∥CD，繼而可得∠MPF=∠CFP=50°，從而即可求得∠EPF；

(2)由角平分線的定義可得∠AEH=2α=40°，再根據AD∥BC，由兩直線平行，內錯角相等可得∠END=∠AEH=40°，由對頂角相等以及角平分線定義可得∠IFG=∠DFG=β=50°，再根據平角定義即可求得∠CFI的度數；

(3)由(2)可得，∠CFI=180°-2β，由AB∥CD，可得∠END=2α，當FI∥EH時，∠END=∠CFI，據此即可得α+β=90°．

(1)∵PM∥AB，α=20°，

∴∠EPM=∠AEP=20°，

∵AB∥CD，PM∥AB，

∴PM∥CD，

∴∠MPF=∠CFP=50°，

∴∠EPF=20°+50°=70°；

(2)∵PE平分∠AEH，

∴∠AEH=2α=40°，

∵AD∥BC，

∴∠END=∠AEH=40°，

又∵FG平分∠DFI，

∴∠IFG=∠DFG=β=50°，

∴∠CFI=180°-2β=80°；

(3)由(2)可得，∠CFI=180°-2β，

∵AB∥CD，

∴∠END=∠AEN=2α，

∴當FI∥EH時，∠END=∠CFI，

即2α=180°-2β，

∴α+β=90°．