Question

【題目】已知：如圖1，過等腰直角三角形ABC的直角頂點A作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，CE，其中CE交直線AP于點F．

（1）依題意補全圖形；

（2）若∠PAB＝16°，求∠ACF的度數；

（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，FE，FC之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）29°；（3）FE2+FC2＝2AB2

【解析】

（1）根據題意補全圖形；

（2）連接AE，根據軸對稱的性質和等腰直角三角形的性質，可得AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，AE＝AC＝AB，根據三角形的內角和可求∠ACF的度數；

（3）連接AE，BF，設BF交AC于點G，根據軸對稱的性質可得AE＝AB，FE＝FB，可證△AEF≌△ABF，可得∠FEA＝∠FBA，根據等腰三角形的性質可得∠ACE＝∠ABF，即可求∠CFB＝∠BAC＝90°，根據勾股定理可得線段AB，FE，FC之間的數量關系．

解：（1）補全圖形，如圖所示．

（2）如圖，連接AE，

∵點E與點B關于直線AP對稱，

∴對稱軸AP是EB的垂直平分線．

∴AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，

∵等腰直角三角形ABC，

∴AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴AE＝AC，

∴∠AEC＝∠ACF

∴2∠ACF+32°+90°＝180°，

∴∠ACF＝29°，

（3）AB，FE，FC滿足的數量關系：FE2+FC2＝2AB2，

理由如下：連接AE，BF，設BF交AC于點G，

∵點E與點B關于直線AP對稱，

∴對稱軸AP是EB的垂直平分線，

∴AE＝AB，FE＝FB，

又∵AF＝AF，

∴△AEF≌△ABF（SSS），

∴∠FEA＝∠FBA，

∵AB＝AC，

∴AE＝AC，

∴∠ACE＝∠AEC，

∴∠ACE＝∠ABF，

又∵∠CGF＝∠AGB，

∴∠CFB＝∠BAC＝90°，

∴FB2+FC2＝BC2．

∵BC2＝2AB2，

∴FE2+FC2＝2AB2