Question

【題目】如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．

（1）①點B的坐標是　 　；②∠CAO=　 　度；③當點Q與點A重合 時，點P的坐標為　 　；（直接寫出答案）

（2）設OA的中點為N，PQ與線段AC相交于點M，是否存在點P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；若不存在，請說明理由．

（3）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（6，2），②30，③（3，3）；(2)m=0或m=3－或m=2；（3）當0≤x≤3時，S梯形=（3+x）；當3＜x≤5時，S=（3+x）－（x－3）2；當5＜x≤9時，S=（12－x）；當9＜x時，S= ．

【解析】矩形的性質，梯形的性質，銳角三角函數，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定和性質，解直角三角形。

（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標：

∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）。

②由正切函數，即可求得∠CAO的度數：

∵，∴∠CAO=30°。

③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。

∴。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為（3，3）。

（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：

情況①：

MN=AN=3，則∠AMN=∠MAN=30°，

∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴點N與Q重合。

∴點P與D重合。∴此時m=0。

情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。

MJ=MQsin60°=AQsin600

又，

∴，解得：m=3﹣。

情況③AM=NM，此時M的橫坐標是4.5，

過點P作PK⊥OA于K，過點M作MG⊥OA于G，

∴MG=。

∴。

∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。

綜上所述，點P的橫坐標為m=0或m=3﹣或m=2。

（3）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。