Question

【題目】在四邊形中，．

（1）如圖，若，，，求的長；

（2）如圖，若，連接，求證：平分；

（3）在（2）的條件下，若，，直接寫出的長度為________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）先根據勾股定理求出BD，再根據勾股定理求出BC即可；

（2）連接AC，過點C作CF⊥AD于F，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E，可得四邊形AECF是矩形，然后證明△CFD≌△CEB，求出CF＝CE，可得四邊形AECF是正方形，根據正方形的性質可得結論；

（3）根據全等三角形的性質和正方形的性質求出BE＝1，可得正方形AECF的邊長為4，然后根據勾股定理可求出AC的長度．

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）連接AC，過點C作CF⊥AD于F，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E，

則∠CFA＝∠FAE＝∠AEC＝90°，

∴四邊形AECF是矩形，

∴∠FCE＝90°，

∵∠DCB＝90°，

∴∠DCF＝∠BCE，

又∵∠CFD＝∠CEB＝90°，CD＝CB，

∴△CFD≌△CEB，

∴CF＝CE，

∴四邊形AECF是正方形，

∵AC是對角線，

∴平分；

（3）由（2）可知，△CFD≌△CEB，

∴DF＝BE，

∵四邊形AECF是正方形，，，

∴AE＝AF，即AB＋BE＝AD－DF，

∴3＋BE＝5－BE，

∴BE＝1，

∴AE＝4，

∴AC＝．