Question

某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規定銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調查發現：單價為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多銷售出2千克．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時，按整天計算）．設銷售單價為x元，日均獲利為y元．
（1）求y與x的二次函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）將（1）中所求出的二次函數配方成y=a（x+）²+的形式．寫出頂點坐標，并在圖中畫出草圖；觀察圖象，指出單價定為多少時日均獲利最多是多少？
（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多，多多少？

Answer 1

解：（1）設銷售單價為x元，
則每千克降低（70-x）元，日均多銷售出2（70-x）千克，
日均銷售量為[60+2（70-x）]千克，每千克獲利為（x-30）元．
故y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x²+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）∵函數y=-2x²+260x-6500可化為y=-2（x-65）²+1950的形式，
∴頂點坐標為（65，1950），
畫出草圖：
經觀察可知，當單價定為65元時，日均獲利最多，為1950元；

（3）當日均獲利最多時：
單價為65元，日均銷售60+2×（70-65）=70千克，
將這種化工原料全部銷售完需7000÷70=100天，
總獲利為1950×100=195000元，
當銷售單價最高時，
單價為70元，日均銷售60千克，
將這種化工原料全部銷售完需天，
獲總利為（70-30）×7000-117×500=221500元，
221500-195000=26500元，故銷售單價最高時獲總利較多，且多獲利26500元．
分析：（1）日利潤=每千克的利潤×日銷售量-雜支．每千克利潤為（x-30）元，每千克降低（70-x）元，日均多銷售出2（70-x）千克，日均銷售量為[60+2（70-x）]千克，雜支為500元，所以得函數關系式．根據題意30≤x≤70；
（2）運用配方法配成頂點式，得頂點坐標，通過畫圖觀察圖象的最高點位置就是獲利最多，此時對應的x的值即為定價；
（3）銷售單價最高即是每千克70元銷售，日銷售量60千克，全部售出需天，計算此時的利潤，與日均獲利最多的銷售方式比較，即得結論．
點評：此題的難度在比較兩種不同的銷售方式的利潤，涉及銷售時間的問題，這點應該注意．