Question

在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC，交x軸于點B．
（1）求直線CB的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸的交點恰為點E、F，求該拋物線的解析式；
（3）試判斷點C是否在拋物線上；
（4）在拋物線上是否存在三個點，由它構成的三角形與△AOC相似？直接寫出兩組這樣的點．

Answer 1

（1）方法一：
連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=2

3

．
又∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴

AO

OC

=

OC

OB

．
∴OB=6．
∴點C坐標為（0，2

3

），點B坐標為（-6，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
可求得直線BC的解析式為y=

3

3

x+2

3

．
方法二：
連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴∠ACO=30°，∠CAO=60°．
∴∠CBA=30°．
∴AB=2AC=8．
∴OB=AB-AO=6．
以下同證法一．

（2）由題意得，⊙A與x軸的交點分別為E（-2，0）、F（6，0），拋物線的對稱軸過點A為直線x=2．
∵拋物線的頂點在直線BC上，
∴拋物線頂點坐標為（2，

8

3

3

）．
設拋物線解析式為y=a（x-2）²+

8

3

3

，
∵拋物線過點E（-2，0），
∴0=a（-2-2）²+

8 3

3

，
解得a=-

3

6

．
∴拋物線的解析式為y=-

3

6

（x-2）²+

8

3

3

，
即y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

．

（3）點C在拋物線上．因為拋物線與y軸的交點坐標為（0，2

3

），如圖．

（4）存在，這三點分別是E、C、F與E、C′、F，C′的坐標為（4，2

3

）．
即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如圖．