Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經過原點O，與x軸交于另一點N，直線y=kx+b₁與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于B（1，3）、C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動點P（x，y），求△PON的面積最大值；
（3）若動點P保持（2）中的運動路線，問是否存在點P，使得△POA的面積等于△POD面積的

1

9

？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）根據題意得，

k+b1=3 2k+b1=2

，
解得

k=-1 b1=4

，
∴直線的解析式是y=-x+4，
根據圖象，拋物線經過點B（1，3）、C（2，2）、（0，0），
∴

a+b+c=3 4a+2b+c=2 c=0

，
解得

a=-2 b=5 c=0

，
∴拋物線的解析式是y=-2x²+5x；

（2）當y=0時，-2x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=

5

2

，
∴點N的坐標是（

5

2

，0），
∴點P的縱坐標越大，則△PON的面積越大，
當點P是拋物線的頂點時，△PON的面積最大，
此時

4ac-b2

4a

=

-52

4×(-2)

=

-25

-8

=

25

8

，
S_△PON最大=

1

2

×

5

2

×

25

8

=

125

32

；

（3）當x=0時，y=4，
當y=0時，-x+4=0，解得x=4，
∴點A、D的坐標是A（0，4），D（4，0），
設點P的坐標是（x，-2x²+5x），則

1

2

×4x=

1

9

×

1

2

×4×（-2x²+5x），
整理得，2x²+4x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
此時點P不在x軸的上方，不符合題意，
∴不存在點P，使得△POA的面積等于△POD面積的

1

9

．