Question

【題目】已知拋物線L：y＝x2+bx﹣2與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），并與y軸相交于點C．且點A的坐標是（﹣1，0）．

（1）求該拋物線的函數表達式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，并求出△ABC的面積；

（3）將拋物線向左或向右平移，得到拋物線L′，L′與x軸相交于A'、B′兩點（點A′在點B′的左側），并與y軸相交于點C′，要使△A'B′C′和△ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2，頂點D的坐標為（，﹣）；(2)△ABC是直角三角形，△ABC的面積是5；(3)所有滿足條件的拋物線的函數表達式是y＝，y＝，y＝．

【解析】

（1）根據拋物線過點A可以求得拋物線的解析式，然后將拋物線化為頂點式即可得到頂點D的坐標；

（2）根據（1）中的函數解析式可以求得點A、B、C的坐標，從而可以判斷△ABC的形狀并求出它的面積；

（3）根據平移的特點和分類討論的方法可以求得相應的函數解析式．

(1)∵拋物線L：y＝x2+bx﹣2過點A（﹣1，0），

∴0＝×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2，

解得，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣2＝，

∴點D的坐標為（，﹣），

即該拋物線的函數表達式是y＝x2﹣x﹣2，頂點D的坐標為（，﹣）；

(2)當y＝0時，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1＝﹣1，x2＝4，當x＝0時，y＝﹣2，

則點A（﹣1，0），點B（4，0），點C（0，﹣2），

∴AB＝5，AC＝，BC＝2，

∵AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面積是：＝5；

(3)∵拋物線向左或向右平移，

∴平移后A′B′與平移前的AB的長度相等，

∴只要平移后過（0，﹣2）或過（0，2）即滿足條件，

當向右平移時，

令y＝，當x＝0時，y＝＝2，得a＝，

此時y＝＝，

當向左平移時，

令y＝，當x＝0時，y＝＝±2，得m＝或m＝3，

當m＝時，y＝，當m＝3時，y＝﹣2，

由上可得，所有滿足條件的拋物線的函數表達式是y＝，y＝，y＝﹣2．