Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點為點E．

(1)求拋物線的解析式；

(2)經過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當點P運動到點E時，求△PCD的面積；

(3)點N在拋物線對稱軸上，點M在x軸上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+2x+3；(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）由點 A，C 的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；(2)利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點 B 的坐標，利用配方法可求出頂點 E 的坐標，由點 B，C 的坐標，利用待定系數法可求出直線 BC 的解析式， 利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點 D 的坐標，再利用三角形的面積公式即可求出當點 P 運動到點 E 時△PCD 的面積；(3)設點 M 的坐標為（m，0），點 N 的坐標為（1，n），分四邊形 CBMN 為平行四邊形、四邊形 CMNB 為平行四邊形及四邊形 CMBN 為平行四邊形三種情況，利用平行四邊形的性質找出關于 m 的一元一次方程，解之即可得出結論．

（1）將 A（﹣1，0），C（0，3）代入 y=ax2+2x+c，得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為 y=﹣x2+2x+3．

（2）當 y=0 時，有﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3，

∴點 B 的坐標為（3，0）．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點 E 的坐標為（1，4）．

設過 B，C 兩點的直線解析式為 y=kx+b（k≠0），將 B（3，0），C（0，3）代入 y=kx+b，得：,解得： ，

∴直線 BC 的解析式為 y=﹣x+3．

∵點 D 是直線與拋物線對稱軸的交點，

∴點 D 的坐標為（1，2），

∴DE=2，

∴當點 P 運動到點 E 時，△PCD 的面積=×2×1=1．

（3）設點 M 的坐標為（m，0），點 N 的坐標為（1，n）．分三種情況考慮：

①當四邊形 CBMN 為平行四邊形時，有 1﹣0=m﹣3， 解得：m=4，

∴此時點 M 的坐標為（4，0）；

②當四邊形 CMNB 為平行四邊形時，有 m﹣1=0﹣3， 解得：m=﹣2，

∴此時點 M 的坐標為（﹣2，0）；

③當四邊形 CMBN 為平行四邊形時，有 0﹣1=m﹣3， 解得：m=2，

∴此時點 M 的坐標為（2，0）．

綜上所述：存在這樣的點 M 與點 N，使以 M，N，C，B 為頂點的四邊形是平行四邊形，點 M 的坐標為（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．