Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于 A（﹣1，0），B（4，0），C

（0，﹣4）三點，點 P 是直線 BC 下方拋物線上一動點．

（1） 求這個二次函數的解析式；

（2） 是否存在點 P，使△POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形？若存在，求出 P 點坐標；若不存在，請說明理由；

（3） 在拋物線上是否存在點 D（與點 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出點 D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在滿足條件的P點，其坐標為（，﹣2）；(3)存在滿足條件的D點，其坐標為（5，6）．

【解析】

（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標；

（3）存在．分兩種情況討論，再利用待定系數法以及解方程組即可解決問題．

(1)設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

把A、B、C三點坐標代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；

(2)如圖1，作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，

∴PO＝PC，此時P點即為滿足條件的點，

∵C（0，﹣4），

∴D（0，﹣2），

∴P點縱坐標為﹣2，

代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，

∴存在滿足條件的P點，其坐標為（，﹣2）；

(3)如圖2，

①當D點在直線BC的上方時，過A點作AD1∥BC，交拋物線于D1，此時，使得S△DBC＝S△ABC，

∵B（4，0），C（0，﹣4），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣4，

∵AD1∥BC，

∴設直線AD11的解析式為y＝x+n，

把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，則n＝1，

∴直線AD1的解析式為y＝x+1，

解得或，

∴D1的坐標為（5，6），

②當D點在直線BC的下方時，

由直線AD1的解析式為y＝x+1可知直線AD1和y軸的交點E的坐標為（0， 1），

∴CE＝5，

∴直線AD的解析式為y＝x﹣10，

∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10無實數根，

故存在滿足條件的D點，其坐標為（5，6）．