Question

【題目】（本小題滿分11分）如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．

（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E．求證：AE是△ABC的一條特異線；

（2）如圖2，若△ABC是特異三角形，∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）如圖1中，

∵DE是線段AC的垂直平分線，∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，（2分）

∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，（4分）

∴AE是△ABC的一條特異線．（5分）

（2）如圖2中，

當BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°，

如果AD=AB，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，

如果AD=DB，DC=CB，則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意，舍去）．（8分）

如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°–20°–20°=140°，（9分）

當CD為特異線時，不合題意．（10分）

∴符合條件的∠ABC的度數為135°或112.5°或140°．（11分）