Question

【題目】如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點C順時針旋轉60°，得到線段CE，連接DE，AE，BD交于點F．

(1)求∠AFB的度數；

(2)求證：BF＝EF；

(3)連接CF，直接用等式表示線段AB，CF，EF的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）∠AFB＝60°；（2）見解析；（3）AB+CF＝2EF．

【解析】

(1)根據正方形的性質得∠ADB＝45°，再有旋轉圖形的邊相等，則對應的底角也相等求出∠DAE＝∠DEA＝15°，從而得到∠AFB＝60°.

(2)由等邊三角形及∠DEA＝15°，得到∠CEF＝∠CBF＝45°，再結合已知根據SAS證明△ADF≌△CDF，再由角的代換證明出△ECF≌△BCF，從而證明BF＝EF.

(3過C作CG⊥BD于G,由已知求出∠GCF＝30°從而得到CF＝2FG，設FG＝x，從而求出AB+CF＝2x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+x，最終得到AB+CF＝2EF.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝∠ADC＝45°，

由旋轉得：CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴CD＝DE＝AD，∠ADE＝90°+60°＝150°，

∴∠DAE＝∠DEA＝15°，

∴∠AFB＝∠FAD+∠ADB＝15°+45°＝60°；

（2）連接CF，

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠DEC＝60°，

∵∠DEA＝15°，

∴∠CEF＝∠CBF＝45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，

∵DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴∠DAF＝∠DCF＝15°，

∴∠FCB＝90°﹣15°＝75°，∠ECF＝60°+15°＝75°，

∴∠FCB＝∠ECF，

∵CF＝CF，

∴△ECF≌△BCF（SAS），

∴BF＝EF；

（3）AB+CF＝2EF，理由是：

過C作CG⊥BD于G，

∵∠CBD＝45°，

∴△CGB是等腰直角三角形，

∵∠BCF＝75°，

∴∠GCF＝30°，

∴CF＝2FG，

設FG＝x，則CF＝2x，CG＝BG＝x，

∴BC＝AB＝CG＝x，

∴AB+CF＝2x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+x，

∴AB+CF＝2EF．