Question

【題目】如圖，等邊△ABC邊長為10，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線1是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線1折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．

（1）如圖1，當(dāng)PB＝5時(shí)，若點(diǎn)B′恰好在AC邊上，求AB′的長度；

（2）如圖2，當(dāng)PB＝8時(shí)，若直線1∥AC，求BB′的長度；

（3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)過程中，若直線1始終垂直于AC，△ACB′的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）8；（3）面積不變，面積為25

【解析】

（1）證明△APB′是等邊三角形即可解決問題．

（2）如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問題．

（3）如圖3中，結(jié)論：面積不變．證明BB′∥AC即可．

（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝10，

∵PB＝5，

∴PB′＝PB＝PA＝5，

∵∠A＝60°，

∴△APB′是等邊三角形，

∴AB′＝AP＝5．

（2）如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，

∴△PEB是等邊三角形，

∵PB＝8，

∴PB′＝PB＝8，

∵B，B′關(guān)于PE對(duì)稱，

∴BB′⊥PE，BB′＝2OB

∴OB＝4，

∴BB′＝8．

（3）結(jié)論：面積不變．

如圖3中，連接B'P，BB'，

∵B，B′關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴BB′⊥直線l，

∵直線l⊥AC，

∴AC∥BB′，

∴S△ACB′＝S△ACB＝=25．