Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線y=x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，

（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；
（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由x=0得y=0+4=4，則點C的坐標為（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，則點A的坐標為（﹣4，0）；

把點C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此拋物線的解析式為y=x2+5x+4，

∴此拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ ．

令y=0得x2+5x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=﹣4，

∴點B的坐標為（﹣1，0）

（2）

解：∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC= =4 ，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵點D在y軸負半軸上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由條件“以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴ = ，即 = ，

解得：CD= ，

∴OD=CD﹣CO= ﹣4= ，

∴點D的坐標為（0，﹣ ）．

【解析】（1）先求出A、C兩點的坐標，再代入拋物線的解析式，就可求出該拋物線的解析式，然后根據拋物線的對稱軸方程x=﹣ 求出拋物線的對稱軸，根據拋物線上點的坐標特征求出點B的坐標；（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根據條件即可得到△CAD∽△ABC，然后運用相似三角形的性質可求出CD的長，由此可得到OD的長，就可解決問題．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．