Question

【題目】如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=2，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AC、邊BC于點E和點F（點E不與A點重合，點F不與B點重合），且點C落在AB邊上，記作點D．過點D作DK⊥AB，交射線AC于點K，設AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求證：△DEK∽△DFB；
（2）求y關于x的函數解析式并寫出定義域；
（3）聯結CD，當 = 時，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

由折疊可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠A=∠B=45°．

∵DK⊥AB，

∴∠ADK=∠BDK=90°，

∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，

∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，

∴△DEK∽△DFB；

（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，

∴DK=DA=x．

∵AB=2，

∴DB=2﹣x．

∵△DFB∽△DEK，

∴ = ，

∴y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ．

當點F在點B處時，

DB=BC=ABsinA=2× = ，AD=AB﹣AD=2﹣ ；

當點E在點A處時，

AD=AC=ABcosA=2× = ；

∴該函數的解析式為y= ，定義域為2﹣ ＜x＜

（3）取線段EF的中點O，連接OC、OD，

∵∠ECF=∠EDF=90°，

∴OC=OD= EF．

設EF與CD交點為H，根據軸對稱的性質可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．

∵ = ，∴sin∠HOC= = ，

∴∠HOC=60°

① 若點K在線段AC上，如圖2，

∵CO= EF=OF，

∴∠OCF=∠OFC= ∠HOC=30°，

∴y=cot30°= ，

∴ = ，

解得：x= ﹣1；

②若點K在線段AC的延長線上，如圖3，

∵OC=OF，∠FOC=60°，

∴△OFC是等邊三角形，

∴∠OFC=60°，

∴y=cot60°= ，

∴ = ，

解得：x=3﹣ ；

綜上所述：x的值為 ﹣1或3﹣

【解析】（1）要證△DEK∽△DFB，只需證到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；（2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到 = ，從而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ；然后只需先求出在兩個臨界位置（點F在點B處、點E在點A處）下的x值，就可得到該函數的定義域；（3）取線段EF的中點O，連接OC、OD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=OD= EF．設EF與CD交點為H，根據軸對稱的性質可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．由 = 可得tan∠HOC= = ，從而得到∠HOC=60°．①若點K在線段AC上，如圖2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函數解析式就可求出x的值；②若點K在線段AC的延長線上，如圖3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函數解析式就可求出x的值．