Question

【題目】如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，并與AB延長線交于點E．
（1）求證：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠2+∠C=90°，

而OC⊥OB，

∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠2

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，

∴OF=1，

∵∠1=∠2，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，

∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG為⊙O的切線，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴ = ，即 = ，

∴AG=6．

【解析】（1）連接OD，根據切線的性質得OD⊥DE，則∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，則EF=x，OE=1+x，根據勾股定理得32+x2=（x+1）2 ， 解得x=4，則DE=4，OE=5，根據切線的性質由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可計算出AG．
【考點精析】利用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．