Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）（a為常數，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線y＝﹣x+拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）該二次函數圖象上有一點P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標；

（3）設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，求2AF+DF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）(，)或(，)；（3）

【解析】

（1）求出點D的坐標，利用待定系數法求出a的值即可．

（2）如圖1中，設直線BD交y軸于J，則J（0，）．連接CD，BC．由S△PAB＝10，推出×6×|yP|＝10，推出yP＝，再利用待定系數法構建方程求出點P的坐標即可．

（3）如圖2中，過點D作DM平行于x軸，首先證明∠BDM＝∠DBA＝30°，過F作FJ⊥DM于J，則有sin30°＝，推出HF＝，推出2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），當A、F、H三點共線時，即AH⊥DM時，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．

解：（1）拋物線y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直線y＝，

當x＝﹣5時，y＝

∴D（﹣5，），

∵點D（﹣5，3）在拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝，

∴a＝．

∴拋物線的函數表達式為：y＝．

（2）如圖1中，設直線BD交y軸于J，則J（0，）．連接CD，BC．

∵S△BDC＝

∴S△PAB＝，

∴×6×|yP|＝

yP＝，

當y＝時， ，

解得x＝，

∴P或，

當

方程無解，

∴滿足條件的點P的坐標為或．

（3）如圖2中，過點D作DM平行于x軸，作FH⊥DM于H，

∵D，B（4，0），

∴tan∠DBA＝，

∴∠DBA＝30°

∴∠BDM＝∠DBA＝30°，過F作FJ⊥DM于J，

則有sin30°＝，

∴，

∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），當A、F、H三點共線時，

即AH⊥DM時，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．